O teorema da bola cabeluda-João Pimentel Nunes

O teorema da bola cabeluda é um resultado da Topologia, a disciplina matemática que estuda a forma dos espaços. Em grande parte, ele resulta do trabalho nos finais do século XIX do grandematemático francês Henri Poincaré , considerado um dos fundadores da Topologia.Haverá poucos resultados matemáticos que nos sejam tão familiares dos gestos do quotidiano: muitos dos leitores confrontam-se todas as manhãs com o teorema da bola cabeluda, ao tentarempentear o seu cabelo e verificando que há um remoínho persistente no topo das suas cabeças. De um modo simplificado, o teorema afirma que não é possível “pentear-se” uma superfície esférica coberta de “cabelo” sem se formarem “remoínhos” de algum tipo.A nossa primeira tarefa é explicar o que significa “cabelo”, “pentear” e “remoínho” em termos matemáticos.

Imaginemos uma superfıcie, S, no espaço euclidiano tridimensional R3. Por cada ponto p de S passa um plano bidimensional tangente a S. Os vectores com origem em p e assentes nesse plano dizem-se vectores tangentes a S em p. O “cabelo” matemático é formado por tais vectores tangentes.

Um “penteado” matemático de S consiste numa escolha, para cada ponto p de S, de um vector tangente a S em p, X(p), de modo a que esses vectores variem continuamente sobre S. Ou seja, `a medida que dois pontos de S, p e q, se aproximam um do outro, também os vectores X(p) e X(q) se aproximam no sentido que os seus comprimentos vão ficando iguais e que o ângulo entre eles vai ficando cada vez mais próximo de zero. A uma tal colecção, X, de vectores tangentes a S chama-se um campo vectorial contínuo em S. Se para um dado ponto p de S se tem X(p) = 0, então diz-se que p é um zero de X. Podemos agora enunciar o teorema da bola cabeluda de forma mais precisa: “Um campo vectorial contínuo na superfície esférica tem pelo menos um zero.”

Os remoínhos que X forma expressam-se matematicamente através dos zeros de X.

Ler o artigo completo

Esta entrada foi publicada em Artigos Klein. Adicione o link permanente aos seus favoritos.