A Lei de Zipf e Outras Leis de Potência em Dados Empíricos- Humberto José Bortolossi, João Júlio Dias Bastos Queiroz e Michele Maria da Silva

O que há de comum entre o número de palavras do livro “Memórias Póstumas de Brás Cubas” de Machado de Assis, a distribuição da população humana em cidades, as intensidades das erupções solares, o número de mortes em ataques terroristas, o número de clientes afetados por apagões elétricos e a maneira como alguns animais buscam por alimentos em seu habitat?

A resposta é surpreendente: estudos estatísticos dão forte suporte ao fato de que estes e muitos outros fenômenos podem ser descritos por leis de potência, isto é, leis que são expressas por funções potências y = f(x) = b xa, com a e b constantes reais.

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Comércio numa cidade – Alberto A. Pinto e Telmo Parreira

Como é que os habitantes de uma dada cidade escolhem as lojas para fazer compras?

Consideremos uma aldeia em que quase todos os seus moradores vivem ao longo da rua principal e que na qual existem apenas duas lojas: a do Manuel e a do Joaquim. Os habitantes da aldeia podem comprar os produtos na loja do Manuel ou do Joaquim. Identificamos a rua principal com o segmento de recta [0,L] e, para simplificar o modelo,supomos que a loja do Manuel se encontra no ponto 0 do segmento e que a loja do Joaquim se encontra no ponto L, isto é, nos extremos da rua. Denotamos por cM e cJ os custos unitários de produção para cada vendedor (loja) e por pM e pJ os preços unitários de venda dos mesmos produtos nas lojas do Manuel e do Joaquim, respetivamente. O António, que vive na casa com o endereço d ε {0,1,2,…,L} na rua, tem o custo pM +dt se for comprar à loja do Manuel e tem o custo pJ +(L-d)t se for comprar à loja do Joaquim, onde t é o custo unitário de se deslocar numa direcção ou noutra. O António decide fazer compras na loja do Manuel ou do Joaquim consoante o custo seja menor.

Assim, se  pM +d t < pJ +(L-d)t,  o António vai comprar à loja do Manuel e se pM +d t > pJ +(L-d)t, o António vai comprar à loja do Joaquim.

Este tipo de competição entre duas empresas (lojas) é descrita pelo modelo de Hotelling

Consideremos que cada habitante da aldeia compra uma unidade do produto quando se desloca a uma das lojas. Assim, o número de unidades vendidas k pelo Manuel é igual ao número de habitantes que vão comprar à sua loja e o seu lucro k (pM -cM) é igual ao número de unidades de produto vendidas k vezes o lucro pMcM obtido em cada venda. Os lucros do Joaquim são calculados de forma semelhante.

Quais os preços pM e pJ que o Manuel e o Joaquim devem praticar para maximizar o seu lucro?

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Sobrevoando cumes e vales – Pedro Duarte

Imagine a superfície acidentada dum planeta fictício completamente submersa num oceano pacífico. Um dia o nível da água do mar começa a descer, fazendo aparecer as primeiras ilhas. À medida que a terra se eleva acima do mar são formadas bacias, que depois viram lagos. Surgem istmos ligando terras próximas, penísulas e continentes vão sendo descobertos pelas águas. A descida das águas faz com que lagos sequem descobrindo vales profundos. Neste mundo todas as águas estão niveladas porque a terra é formada de matéria porosa. Entendendo  a   “geografia” em sentido restrito, como a simples contagem do número de ilhas ou continentes por um lado, e do número de mares ou lagos por outro, será possível compreender as mudanças que ocorrem na `geografia’ do planeta em função da descida do mar? Uma teoria desenvolvida pelo matemático americano Marston Morse nos anos 30 do século XX responde a esta questão.

A teoria de Morse relaciona mudanças “geográficas” globais com certos pontos especiais, ditos pontos críticos, em torno dos quais ocorrem transformações qualitativas na `geografia’. Existem essencialmente três tipos de metamorfose causadas pelo abaixamento do nível das águas, que são: (1) o nascimento uma ilha , (2) a emergência dum istmo ligando duas porções de terra e (3) o desaparecimento dum lago, porque o fundo dum vale  ficou acima do nível do mar.

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O teorema da bola cabeluda-João Pimentel Nunes

O teorema da bola cabeluda é um resultado da Topologia, a disciplina matemática que estuda a forma dos espaços. Em grande parte, ele resulta do trabalho nos finais do século XIX do grandematemático francês Henri Poincaré , considerado um dos fundadores da Topologia.Haverá poucos resultados matemáticos que nos sejam tão familiares dos gestos do quotidiano: muitos dos leitores confrontam-se todas as manhãs com o teorema da bola cabeluda, ao tentarempentear o seu cabelo e verificando que há um remoínho persistente no topo das suas cabeças. De um modo simplificado, o teorema afirma que não é possível “pentear-se” uma superfície esférica coberta de “cabelo” sem se formarem “remoínhos” de algum tipo.A nossa primeira tarefa é explicar o que significa “cabelo”, “pentear” e “remoínho” em termos matemáticos. Continue lendo

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