Somas que dão muito errado- Carlos Tomei

Vamos denotar por  r =(1-√5)/2 ≈-0,6180  a razão da progressão geométrica  1,r,r2,r3,… Nossa intenção é  mostrar um perigo frequente quando fazemos contas aproximadas. Para começar, observe esses dois fatos muitos simples sobre a progressão. 1. O termo geral, rn, vai a zero – isso é óbvio: afinal, |r| < 1.
2. Para n = 2,3,… rn = rn-1 + rn-2. De fato, dividindo por rn, todas essas igualdades se transformam em r2 = r + 1, e isso é  fácil de verificar. Assim, para calcular potências de r, basta somar as duas potências anteriores, o que é bem mais fácil do que sair multiplicando: r2=r+1,     r3=r2+r,    r4=r3+r2,  … Para aproximar r50, arredondando com quatro algarismos significativos, obtemos,  a partir de 1 e -0,6180:  0,3820 ;  – 0,2360; 0,1460; – 0,0900; 0,0560; – 0,0340;  0,0220; -0,0120;    r10 = 0,0100 ; -0,0020; …    r20 = 0,2300; …. r30 = 28,28;… r40 = 3477;      r50 = 427800. Algo horrível aconteceu: o termo geral da sequência, em vez de ir para zero, está crescendo! As aproximações obtidas para rn são péssimas e estão piorando. Aliás, até  a alternância de sinais de rn≈(-0,618)n desapareceu. O que pode ter dado errado numa simples soma?! A resposta é sutil:

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